Теория вероятностей

Интуитивно непонятная тема, но я копаюсь в ней.

Правило суммы

Есть 2 непересекающихся множества $A\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}$ и $B\{y_{1},\ldots ,y_{m}\}$. Число способов выбрать один элемент

$m+n$

Правило произведения

Необходимо выполнить k действий. Каждое действие можно выполнить $n_{1},\ldots ,n_{k}$ способами соответственно. Все действия можно выполнить

$n_{1}\cdot n_{k}$ способами.

Размещения

$n$ - число элементов множества. $k$ размер подмножества

Множество $n=10$ → $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$.

Размещения $k=3$ → $\{0,2,4\}$, $\{6,3,1\}$, $\{7,0,1\}$...

Число размещений

$A_{n}^{k}={\frac {n!}{(n-k)!}}$

$A_{10}^{7}={\frac {10!}{7!}}=720$

Перестановки

Множество $n=3$ → $\{0,1,2\}$.

Перестановки → $\{1,0,2\}$, $\{2,1,0\}$, $\{2,0,1\}$, ...

Число перестановок

$P_{n}=n!$

$P_{3}=3!=6$

Сочетания

Множество $n=4$ → $\{1,2,3,4\}$.

Сочетания $k=2$ → $\{1,2\}$, $\{1,3\}$, $\{1,4\}$, $\{2,3\}$, $\{2,4\}$, $\{3,4\}$

Число сочетаний

$C_{n}^{k}={\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}$

$C_{4}^{2}={\frac {4!}{2!\cdot 2!}}=6$

Сочетания непересекающихся подмножеств

$C_{n}(k_{1},k_{2},...,k_{m})={\frac {n!}{k_{1}!\cdot k_{2}!\cdot \ldots \cdot k_{m}!}}$

Перестановки с повторениями

$P(k_{1},k_{2},...,k_{m})={\frac {n!}{k_{1}!\cdot k_{2}!\cdot \ldots \cdot k_{m}!}}$

Сочетания с повторениями

Множество $n=4$ → $\{1,2,3,4\}$.

Сочетания $k=2$ → $\{1,1\}$, $\{2,2\}$, $\{3,3\}$, $\{4,4\}$, $\{1,2\}$, $\{1,3\}$, $\{1,4\}$, $\{2,3\}$, $\{2,4\}$, $\{3,4\}$

Число сочетаний с повторениями

$f_{n}^{k}=C_{k+n-1}^{k}=C_{k+n-1}^{n-1}$

$f_{4}^{2}=C_{2+4-1}^{2}=C_{5}^{2}={\frac {5!}{2!\cdot 3!}}=10$